Взаємно прості числа
Два елемента кільця $a, b \in K$ називаються взаємнопростими, якщо $НСД(a, b)=1$
Важливе зауваження. Оскільки найбільший спільний дільник визначений з точністю до асоційованості, то означення можна переформулювати так. Два елемента називаються взаємно простими, якщо $НСД(a, b) \in K^*,$ тобто є оборотним елементом.
Нехай $K$ – евклідове кільце. Тоді елементи $a, b$ є взаемно простими тоді і лише тоді, коли існують $m, n \in K$ $am+bn=1$
Необхідність випливає з алгоритму евкліда (а саме те, що НСД елементів можна подати як лінійну комбінацію. Достатність. Якщо виконується зазаначена рівність і $d|a$, $d|b$, тоді $d|1$, а отже $d \in K^*$ і $НСД(a, b) = 1$.
Нехай $K$ – евклідове кільце. Якщо $НСД(a, b) = 1$ і $НСД(a, c) = 1$ то $НСД(a, bc)=1$.
Для доведення я використаю попередню лему про взаємно прості елементи. Отже $am+bn=1$, $ak+cl=1$. Тепер ці рівності необхідно перемножити. $$(am+bn)(ak+cl)=1;$$ $$a(akm+mcl+kbn)+bc(nl)=1.$$ Звідки $НСД(a, bc)=1.$
Нехай $K$ – евклідове кільце. Якщо $НСД(a, b) = 1$ то з умови $a|bc$ випливає$a|c$.
В силу взаємної простоти. $an+bm=1$, тоді $acn+bcn=c$. Оскільки $a|bc$, то $a|c$.
Прості числа
З поняттям простого числа знайомі майже всі. Але при розгляді питання більш формально можна виділити два різних поняття і відповідно два різних означення, а саме – поняття простого і нерозкладного числа.
Елемент $a$ кільця $K$ називається нерозкладним, якщо з умови $a = bc$ слідує, що або $b \in K^*$ або $c \in K^*$.
Останнє означення є повним аналогом відомого зі школи означення простого числа: число називається простим, якщо ділиться тільки на себе і на одиницю.
Елемент $a$ кільця $K$ називається простим, якщо з умови $a | bc$ слідує, що або $a|b$ або $a|c$.
Перше означення більш загальне. Але у евклідовому кільці ці два означення рівносильні.
Простий елемент кільця є нерозкладним.
Нехай $a \in K$ – простий елемент. Якщо $a = bc$, то $a | bc$, звідки в силу простоти або $a|b$, або $a|c$. Нехай, наприклад, $a|b$. Оскільки $a=bc$, то $b|a$ . а отже, $a$ і $b$ асоційовані, звідки $c \in K^*$.
Якщо $K$ – евклідове кільце, то елемент $a \in K$ є простим тоді і лише тоді, коли він є нерозкладним.
Необхідність доведена у лемі про нерозкладність простого елемента.
Достатність. Нехай $a \in K$ – нерозкладний елемент і кільце $K$ є евклідовим. Нехай $a | bc.$ Оскільки $a$ – нерозкладний елемент, то $НСД(a, b) \in \{a, 1\}$, $НСД(a, c) \in \{a, 1\}.$ Якщо $a$ i $b$ та $a$ i $c$ взаємно прості, то за властивістю вхаємно простих чисел у евклідовому кільці $a$ взаємно просте з $bc$, що суперечить припущенню $a|bc$. А оже, або $a|b$ або $a|c$
Випадок кільця $\mathbb Z$
Кількість простих натуральних чисел нескінченна.
Якщо простих чисел скінченна кількість, то їх всіх можна записати: $p_1, p_2, ..., p_n$. Якщо розглянути число $p = p_1p_2...p_n+1$, то воно не є простим (оскільки всі прості вже записані). Якщо воно не просте, то має ділитись на одне з простих, тобто $p_i$, але воно на нього не ділиться за своєю побудовою.
Два простих числа $p_1, p_2$ називаються близнювами, якщо $|p_1-p_2|=2$
