НСД, НСК

Розглянуто означення найбільшого спільного дільника та найменшого спільго кратного.

Автор: Сергій Дяченко📅 2020-09-11⏳ 2 хв.

Поняття найбільшого спільного дільника (НСД) та найменшого спільного кратного(НСК) багатьом відоме. І коли воно вводиться у множині натуральних чисел, то там дійсно можна говорити про існування числа, яке є дільником і яке найбільше відносно природного порядку на натуральних числах. Але поняття НСД та НСК можливо використовувати і в інших кільцях, в яких немає природного лінійного порядку, подібного порядку на натуральних числах. В такому випадку на допомогу приходить відношення подільності, яке заміняє відношення порядку.

Найбільшим спільним дільником двох елементів $a, b$ кільця $K$ називається $d \in K$ для якого виконуються дві властивості:

$d|a$, $d|b$.
Для довільного $d' \in K$ з $d' | a$, $d' | b$ випливає $d'|d$.

Найменшим спільним кратним двох елементів $a, b$ кільця $K$ називається $m \in K$ для якого виконуються дві властивості:

$a | m$, $b | m$.
Для довільного $m' \in K$ з $a | m'$, $b | m'$ випливає $m | m'$.

$НСД(5,6)=1$
$НСД(15,20)=-5$

Два елементи $a, b$ кільця $K$ називаються взаємно простими, якщо $НСД(a,b)=1$

$НСД(a,b)$ ($НСК(a,b)$) визначений з точністю до асоційованості.

Доведення для НСД та НСК ідентичні, тому я розгляну випадок НСД. Якщо $НСД(a,b) = d_1$ і $НСД(a,b) = d_2$ тоді згідно означення $d_1 | d_2$ i $d_2 | d_1$. а отже, $d_1, d_2$ — асоційовані.