Евклідовий векторний простір

Розглянуто поняття скалярного добутку, евклідового векторного простору та геометрії у скінченновимірних просторах.

Автор: Сергій Дяченко📅 2020-06-12⏳ 3 хв.

У лекції основним полем буде поле дійсних чисел $\mathbb R$.

Нехай $V$ - векторний простір над полем $\mathbb R$. Білінійна форма $f : V \times V \to \mathbb R$ називається скалярним добутком, якщо

$f$ - симетрична, тобто $f(x, y) = f(y,x)$
Квадратична форма $f(x, x)$ додатно визначена

Евклідовим простором називається скінченновимірний векторний простір над полем $\mathbb R$ з заданим на ньому скалярним добутком.

Як правило скалярний добуток двох векторів $v, w$ позначається $(v, w).$

Довжиною вектора $v$ в евклідовому просторі $V$ називається корінь із скалярного квадрату. $$|v| = \sqrt{(v,v)}$$

(Нерівність Коші-Буняковського) У евклідовому просторі має міске нерівність $$|(v, w)| \leq |v||w|.$$ рівність у цій нерівності досягається тоді і лише тоді, коли вектори $v, w$ пропорційні.

Якщо один із векторів нульовий, то теорема очевидно виконується.

Нехай тепер обидва вектори ненульові. Оскільки скалярний добуток додатно визначений, то для довільного $\lambda \in \mathbb R$ $(v+ \lambda w, v+ \lambda w) \geq 0$ $$(v+ \lambda w, v+ \lambda w)= \lambda^2 (w,w) + 2 \lambda (v, w) + (v,v).$$ На цей вираз можна подивитись як на квадратний тричлен від $\lambda.$ Оскільки для всіх значень від $\geq 0$, то його дискримінант $D \leq 0.$ $$D = 4(v, w)^2 - 4(v,v)(w,w) \leq 0;$$ $$(v, w)^2 \leq (v,v)(w,w);$$ $$\sqrt{(v, w)^2} \leq \sqrt{(v,v)}\sqrt{(w,w)};$$ $$|(v, w)| \leq |v||w|.$$

Якщо $|(v, w)| = |v||w|,$ то квадратне рівняння має корінь $\lambda _0$ для якого $(v+ \lambda_0 w, v+ \lambda_0 w)= 0.$ В силу додатної визначеності білінійної форми $v+ \lambda_0 w = 0$, $v = -\lambda_0 w$ отже, вектори пропорційні.

Остання нерівність дозволяє ввести поняття кута між векторами, оскілики величина $$\Bigg| \frac{(v,w)}{|v||w|} \Bigg| \leq 1.$$

Нехай $v, w$ - ненульові вектори в евклідовому векторному просторі, тоді кутом між ними називається величина $$\alpha = \arccos\Bigg( \frac{(v,w)}{|v||w|} \Bigg)$$

Нехай $\alpha$ - кут між векторами $v$ $w$. Для скалярного добутку має місце формула $$(v, w) = |v||w|\cos \alpha.$$

Доведення випливає з означень.