В цій лекції я буду розглядати в основному квадратні матриці.
Нехай $A$ - квадратна матриця розміру $n \times n$ над полем $F.$ Число $\lambda \in F$ називається власним значенням матриці $A$, якщо існує ненульовий вектор $v$ такий, що $$Av = \lambda v.$$ В цьому випадку вектор $v$ називається власним вектором матриці $A$ з власним значенням $\lambda.$
Аналогічно можна дати означення власного вектора лінійного оператора.
Нехай $f : V \to V$- лінійний оператор. Число $\lambda \in F$ називається власним значенням $f$, якщо існує ненульовий вектор $v \in V$ такий, що $$f(v) = \lambda v.$$ В цьому випадку вектор $v$ називається власним вектором лінійного оператора $f$ з власним значенням $\lambda.$
Власні значення матриці знайти легко. Виявляється, вони є коренями характеристичного многочлена матриці.
Характеристичним многочленом матриці $A$ називається $\chi_A(\lambda) = det(A-\lambda E),$ або докладніше $$\chi_A(\lambda) = det\begin{pmatrix}
a_{11}-\lambda & a_{12} & ... & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} -\lambda& ... & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}-\lambda \\
\end{pmatrix}.$$
Власні значенням матриці $A$ є в точності коренями її характеристичного многочлена $\chi_A(\lambda)$
Якщо вектор $v$ є власним вектором матриці $A$ з власним числом $\lambda,$ то $$Av = \lambda v, $$ це фактично система лінійних рівнянь, яку можна переписати таким чином $$Av - \lambda Ev = 0,$$ $$(A - \lambda E) v = 0.$$ Це однорідна система лінійних рівнянь, яка має ненульовий розв'язок. Це буває тоді і лише тоді, коли матриця $A - \lambda E$ вироджена, тобто, $det(A - \lambda E) = 0.$
Діагоналізовні матриці
Матриці $A$ і $B$ називаються подібними, якщо існує оборотна матриця $S$ така, що $$ B = S^{-1} A S$$
Це означення фактично означає, що матриці $A$ і $B$ - це матриці одного лінійного відображення, тільки в різних базисах.
Відношення подібності матриць є відношенням еквівалентності на множині квадратних матриць фіксованого розміру.
Клас відношення подібності матриць - це фактично множина матриць для фіксованого лінійного відображення у всіх можливих базисах. Маючи лінійне відображення не має ніяких обмежень на вибір базису. Тому для фіксованого лінійного відображення можна обрати такий базис, в якому б його матриця мала найзручніший вигляд. Звичайно, найзручніший вигляд матриці - це діагональна, або як омога більше схожа на діагональну.
Таким чином, виникає цікаве питання. Чи існує у фіксованому класі подібних матриць діагональна матриця.
Інакше цю задачу можна сформулювати так. Задане фіксоване лінійне відображення $f : V \to V.$ Чи існує базис простору $V,$ в якому це відображення задається діагональною матрицею?
Матриця $A$ називається діагоналізовною, якщо існує діагональна матриця $D$ подібна їй.
Лінійний оператор $f : V \to V$ називається діагоналізовним, якщо існує базис $V$ в якому він задається діагональною матрицею $D$.
Лінійний оператор $f : V \to V$ діагоналізовний тоді і лише тоді, коли існує базис векторного простору $V,$ який складається з власних векторів $f.$
Нехай у деякому базисі $B = \{ e_1, e_2, ... , e_n \} $ лінійний оператор $f$ задається діагональною матрицею $$D = \begin{pmatrix}
d_1 & 0 & ... & 0 \\
0 & d_2 & ... & 0 \\
\vdots & \vdots &\ddots &\vdots \\
0 & 0 & ... & d_n \\
\end{pmatrix}$$
Тоді згідно правил побудови матриці лінійного відображення $$f(e_1) = d_1e_1, f(e_2) = d_2e_2, ... , f(e_n) = d_ne_n,$$ тобто $B$ - це базис, що складається з власних векторів.
Навпаки, якщо є базис $B = \{ e_1, e_2, ... , e_n \} $ векторного простору, що складається з власних векторів лінійного оператора $f,$ тобто $f(e_i) = d_i e_i$, $ 1 \leq i \leq n.$ Тоді в такому базисі матриця $f$ буде діагональною.
Власні вектори, що відповідають різним власним числам є лінійно незалежними.
(Достатня умова діагоналізовності матриці) Нехай $A$ це $n \times n$ матриця. Якщо характеристичний многочлен $\chi_A(\lambda)$ має $n$ різних коренів, то матриця $A$ діагоналізовна.
Доведення грунтується на
критерії діагоналізовності матриці.
Нехай $\lambda_1, ... , \lambda_n$ - всі різні власні значення, $v_1, ... , v_n$ - відповідні їм власні вектори. Тоді за лемою про лінійну незалежність власних векторів ці вектори лінійно незалежні. А оскільки їх кількість рівна розмірності векторного простору, то це базис.
Отже в просторі існує базис, що складається з власних векторів матриці, а отже матриця діагоналізовна.
(Умова діагоналізовності матриці) Нехай характеристичний многочлен $\chi_A(\lambda)$ розкладається на лінійні множники над полем $F$
$$\chi_A(\lambda) = (\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)...(\lambda-\lambda_n)$$
Якщо для кожного власного значення існує стільки лінійно незалежних векторів, яка кратність цього кореня, тоді матриця $A$ діагоналізовна.
Для доведення необхідно виписати окремо для кожного власного значення всі лінійно незалежні власні вектори. Їх в сукупності вийде $n$ і оскільки власні вектори, що відповідають різним власним значенням є лінійно незалежними, то ці вектори утворять базис векторного простору, що складається з власних векторів матриці $A$, тому матриця діагоналізовна.
