Квадратичні форми над $\mathbb R$, закон інерції квадратичних форм.
Розглянуто поняття сигнатури квадратичних форм і закон інерції, який говорить, що сигнатура не змінюється при заміні змінних.
Автор: Сергій Дяченко📅 2020-06-12⏳ 3 хв.
Після того, як квадратична форма зведена до нормального вигляду над полем дійсних чисел, її коефіцієнти можна перетворити на 1 або -1. Наприклад $3x_1^2-4x_2^2$. Необхідно зробити заміну $y_1 = \sqrt 3 x_1, y_2 = 2x_2$ і тоді квадратична форма матиме вигляд $y_1^2-y_2^2$
Говорять, що квадратична форма над полем дійсних чисел $\mathbb R$ має нормальний вигляд, якщо вона є сумою квадратів, а коефіцієнти перед квадратами належать множині $\{0, 1, -1 \}.$
Нехай квадратична форма над $\mathbb R$ приведена до нормального вигляду, тоді її сигнатурою називається трійка чисел $(n_+, n_-, n_0),$ відповідно кількість коефіцієнтів $1, -1, 0.$
(Закон інерції квадратичних форм) Сигнатура квадратичної форми не залежить від способу приведення до нормального вигляду.
Дійсно, нехай квадратична форма $f$ зведена двома способами до нормального вигляду. Не обмежуючи загальності, можна вважати, що спочатку ідуть коефіцієнти 1, потім -1, а потім 0. Отже:
$$f(x) = x_1^2 + x_2^2+...+x_k^2-x_{k+1}^2-...-x_{k+s}^2;$$
$$f(y) = y_1^2 + y_2^2+...+y_t^2-y_{t+1}^2-...-y_{t+m}^2.$$
Перший вигляд у базисі $\{ e_1, ... , e_n \}$, другий - у базисі $\{ h_1, ..., h_n\}.$
Для доведення теореми необхідно показати, що $k=t$, $s=m.$
Доведення буде від супротивного. Якщо $k > t$ необхідно розглянути наступні підпрорстори $W_1 = < e_1, ... , e_k > $ $W_2 = < h_{t+1}, ... , h_n >.$ Ці підпростори відрізняються тим, що для довільного ненульового $v \in W_1$ $f(v) > 0$, а для довільного ненульового $v \in W_2$ $f(v) \leq 0.$ $dim W_1 = k, dim W_2 = n-t$, тоді за формулою Грасмана $$dim (W_1 \cap W_2) = dim W_1 + dim W_2 - dim (W_1+W_2)$$ Тому $dim (W_1 \cap W_2) \geq k + n-t -n = k-t > 0, $ отже, в цьому підпросторі можна знайти ненульовий вектор $v \in W_1 \cap W_2.$ Тоді з одного боку $v \in W_1, f(v) > 0$, а з іншого боку $v \in W_2, f(v) \leq 0.$ Отримана суперечність показує, що $k \leq t.$ Аналогічно можна довести, що $t \leq k$, а отже, $t=k.$ Також аналогічно доводиться, що $s=m$.