Лінійна залежність векторів
Розглянута лінійна залежність векторів ії основні властивості та теореми.
Автор: Сергій Дяченко📅 2021-01-11⏳ 3 хв.
Лінійною комбінацією векторів $v_1, v_2, ..., v_n \in V$ з коефіцієнтами $a_1, a_2, ... , a_n \in F$ називається вектор $$a_1v_1+a_2v_2+...+a_nv_n.$$
Лінійна комбінація векторів називається тривіальною, якщо всі коефіцієнти рівні нулю. Якщо хоча б один з коефіцієнтів не рівний нулю, лінійна комбінація називається нетривіальною.
Вектори $v_1, v_2, ... , v_n$ називаються лінійно залежними, якщо існує нетривіальна лінійна комбінація цих векторів рівна нулю. Інакще говорять, що вектори є лінійно незалежними.
Лема про дві системи векторів.
Наступна лема має складне доведення, але вона є фундаментальною для теорії векторних просторів. На основі цієї леми будуть доводитись декілька важливих теорем, пов'язаних з базисом векторного простору і підпростору.
Нехай є дві системи веторів $\{e_1, ... , e_m \}(e)$, $\{f_1, f_2, ..., f_n\}(f)$ і кожен вектор системи $(f)$ є лінійною комбінацією векторів системи $(e).$ Тоді, якщо $m < n$ то система $(f)$ лінійно залежна.
Властивості лінійно незалежних систем.
Система, що складається з одного вектора є лінійно незалежною тоді і лише тоді, коли цей вектор ненульовий.
Система з двох векторів лінійно залежна тоді і лише тоді, коли вектори пропорційні (колінеарні).
Система з трьох векторів лінійно залежна тоді і лише тоді, коли вектори компланарні (паралельні одній площині).
Нехай задано дві системи векторів $\{e_1, e_2, ... , e_m \}(e) \subset \{f_1, f_2, ..., f_n\}(f)$, тоді
Наступна лема є наслідком з попередньої теореми.
- Якщо система $(e)$ лінійно залежна, то й система $(f)$ лінійно залежна.
- Якщо система $(f)$ лінійно незалежна, то й система $(e)$ лінійно незалежна.
Якщо система веторів $\{v_1, v_2, ... , v_m\}$ містить нульвий вектор, то вона лінійно залежна.
Якщо система векторів $\{v_1, v_2, ..., v_n \}$ лінійно незалежна, а система $\{v_1, v_2, ..., v_n, b \}$ є лінійно залежною, то існують коефіцієнти $a_1, a_2, ..., a_n$, не всі рівні нулю, для яких $$b = a_1v_1 + a_2v_2 + ... + a_n v_n.$$