Системи лінійних рівнянь
Системи лінійних рівнянь - найважливіша частина математики. Більшість задач обчислювальної математики зводяться до розв'язання системи лінійних рівнянь.
Автор: Сергій Дяченко📅 2020-08-04⏳ 2 хв.
Система лінійних рівнянь має вигляд $$\left \{ \begin{matrix} a_{11}x_{11}+a_{12}x_{12}+...+a_{1n}x_{1n}=b_1; \\ a_{21}x_{21}+a_{22}x_{22}+...+a_{2n}x_{2n}=b_2; \\ ... \\ a_{m1}x_{m1}+a_{m2}x_{m2}+...+a_{mn}x_{mn}=b_m; \end{matrix} \right. (*)$$
Основною матрицею системи $(*)$ називається матриця
$$\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \\
\end{pmatrix}$$
Розширеною матрицею системи $(*)$ називається матриця
$$\left( \begin{array}{cccc|c}
a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} & b_1 \\
a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} & b_2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} & b_m \\
\end{array} \right)$$
Система називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв'язок. Якщо система не має ні одного розв'язку, то вона називається несумісною
Система називається визначеною, якщо вона має рівно один розв'язок. Система називається невизначаною, якщо вона має більше одного розв'язку.
Система називається однорідною, якщо права частина рівна нулю.
Найбільш відомим способом розв'язку системи лінійних рівнянь є метод Гауса