Ідеали кілець

Розглянуто поняття ідеалу кільця, а також основні властивості. Розглянуті ідеали породжені множиною, головні ідеали - як ідеали, породжені одним елементом. Ідеали евклідових кілець. Зв'язок ідеалів з теорією подільності.

Автор: Сергій Дяченко📅 2020-10-27⏳ 8 хв.

Поняття ідеалу з'явилось як узагальнення поняття дільника, іншими словами — ідеальний дільник. а що ж таке дільник. нехій $d$ — дільник. Тоді він має дві основні властивості:

$a \ \vdots\ d, b \ \vdots \ d \Rightarrow a+b \ \vdots \ d, a-b \ \vdots \ d$
$a \ \vdots \ d \Rightarrow ac \ \vdots \ d$ для довільного $c$.

Означення ідеалу отримується із вищесказаного заміною занака $\vdots$ на $\in$.

Підмножина $I \subset K$ називається ідеалом, якщо виконуються наступні властивості:

$a, b \in I \Rightarrow a+b \in I$;
$a \in I, b \in K \Rightarrow ab \in I$.

Самим відомим прикладом ідеалу є парні числа. Також ідеалом є множина чисел кратних фіксованому числу.

Система твірних ідеалу.

Нехай задана певна підмножина кільця. Виникає питання, чи існує ідеал, який містить ці елементи. Найпростіший випадок — коли зазначена множина містить одиницю.

Нехай $I \subset K$ — ідеал. Якщо $1 \in I$, то $I=K$.

Оскільки $1 \in I$, за властивістю ідеалу для довільного $a \in K$ $1\cdot a = a \in I$, а отже, $K \subset I$, звідки $I=K$.

Ідеалом породженим множиною $\{ a_1, a_2, ... , a_n \} \subset K$ називається найменший ідеал кільця, який містить цю підмножину. Такий ідеал позначається $(a_1, a_2, ... , a_n)$. Іншими словами це означення можна записати так: $$(a_1, a_2, ... , a_n) = \bigcap_{I \supset \{ a_1, a_2, ... , a_n \}} I$$

Попереднє означення справедливе також у випадку нескінченної множини.

Виникає питання, чому ідеал породжений множиною існує для довільної підмножини. Іншими словами, чи існує хоча б один ідеал з властивістю $I \supset \{ a_1, a_2, ... , a_n \}$. Хоча б один такий ідеал обов'язково знайдеться, наприклад, $I=K$.

$$(a_1, a_2, ... , a_n) = \Big\{ \sum_{i=1}^n c_ia_i\, | \, c_i \in K, i=1, 2, ..., n \Big\} $$

Нехай $I_1 = (a_1, a_2, ... , a_n)$, $I_2 = \{ \sum_{i=1}^n c_ia_i\, | \, c_i \in K, i=1, 2, ..., n\}$. Таким чином, необхідно довести, що $I_1=I_2$.

Оскільки $\{ a_1, a_2, ... , a_n \} \subset I_1$, то за властивістю ідеала $I_2 \subset I_1$.

З іншого боку, легко переконатись, що $I_2$ також є ідеалом. Дійсно, нехай $x, y \in I_2, b \in K$, $$x = \sum_{i=1}^n x_ia_i$$ $$y = \sum_{i=1}^n y_ia_i.$$ Тоді $$x+y = \sum_{i=1}^n (x_i+y_i)a_i \in I,$$ $$bx = \sum_{i=1}^n (bx_i)a_i \in I.$$

Отже, $I_2$ — ідеал, $I_2 \subset I_1$, $I_2 \supset \{ a_1, a_2, ... , a_n \}$, тому в силу мінімальності $I_1$ отримується $I_1=I_2$

Ідеал називається головним, якщо він породжений одним елементом. В цьому випадку він має вигляд: $$I = aK = (a) = \{ab\,|\, b \in K\}$$

Дії над ідеалами.

Оскільки ідеали є підмножинами кільця, то над ними можна виконувати певні дії. як над підмножинами. Але не завжди в результаті цих дій отримується ідеал. Найпоширеніші дії — об'єднання та перетин. Перетин двох ідеалів завжди буде ідеалом. А от якщо розглянути об'єднання то воно майже завжди не буде ідеалом, але ідеал, породжений об'єднанням ідеалів використовується досить часто і називається такий ідеал сумою ідеалів.

Нехай $I_1, I_2 \subset K$ — ідеали. Тоді наступні підмножини також є ідеалами:

$I_1 \cap I_2$
$I_1 + I_2 = \{ x+y \ | \ x \in I_1, y \in I_2 \}$
$I_1I_2 = \{ \sum_{i=1}^n x_iy_i \ | \ n \geq 0, x_i \in I_1, y_i \in I_2, i=1, ..., n \}$

Ідеали евклідових кілець

У випадку евклідового кільця всі ідеали виявляються головними.

Нехай $I$ — ідеал евклідового кільця $K$. Тоді існує $a \in K$ таке, що $I = (a) = aK$.

Якщо $I = \{0\}$, то $I = (0)$. В цьому випадку теорема доведена.

Оскільки $K$ — евклідове кільце, на ньому визначена функція $\delta$, відносно якої визначено ділення з остачею. Нехай $z \in I$ — ненульовий елемент з найменшим значенням $\delta(z)$. Тобто, $$z = argmin\{ \delta(x) \ |\ x\in I, \ x \neq 0 \}.$$ Треба довести, що всі елементи ідеалу $I$ діляться на $z$, або іншими словами, що $I = zK$.

Дійсно, нехай $b \in I$, $b \neq 0$. $b$ можна поділити з остачею на $z$: $$b = zq+r.$$ Я хочу показати, що в цьому випадку обов'язково $r=0$. Дійсно, якби було $ r \neq 0$, то за властивістю подільності $\delta(r) < \delta(z)$, а оскільки $r = b-zq$, $b \in I$. Останнє суперечить мінімальності елемента $z$.

Отже, дійсно $r=0$ i $I = zK$.

Кільце $K$ називається кільцем головних ідеалів, якщо всі його ідаіли є головними.

Таким чином, довільне евклідове кільце є кільцем головних ідеалів.

Зв'язок ідеалів з теорією подільності.

Ідеали були задумані як ідеальні дільники. Загалом вони не є елементами кільця, але частині ідеалів можна поставити у відповідність елементи кільця таким чином, що теорія подільності в кільці буде узгоджуватись з теорією ідеалів.

Такими ідеалами є головні ідеали. І фактично на мові головних ідеалів можна сформулювати довільне поняття теорії подільності. Таким чином, мова ідеалів — це мова, на якій можна висловити те саме, що й на мові теорії подільності. Але ця мова має більше свободи, оскільки є узагальненням поняття подільності.

Якщо пригадати початок лекції, то ідеали з'явились як ідеальні дільники, при чому означення ідеалу отрималось з означення дільнирка заміною знака $\vdots$ на $\in$. Що тепер вийшло, якщо розглянути випадок головного ідеалу $$(a) = aK = \{ax\ | \ x \in K\}.$$

$b \in (a)$ тоді і лише тоді, коли $b \ \vdots \ a$

$a|b$ тоді і лише тоді, коли $(b) \subset (a)$.

$(b) = (a)$ тоді і лише тоді, коли $a$ i $b$ асоційовані.

Мають місце наступні властивості:

$\big(НСД(a, b)\big) = (a, b) = (a)+(b)$
$\big(НСК(a, b)\big) = (a) \cap (b)$
$(ab) = (a)(b)$

Прості і максимальні ідеали

Ідеал $\mathfrak p \subset K$ називається простим, якщо $\mathfrak p \neq K$ і з умови $ab \in \mathfrak p$ слідує, що $a \in \mathfrak p$ або $b \in \mathfrak p.$

Ідеал $\mathfrak p \subset K$ є простим тоді і лише тоді, коли факторкільце $K/ \mathfrak p$ є областю цілісності.

Ідеал $\mathfrak m \subset K$ називається максимальним, якщо якщо $\mathfrak m \neq K$ і для довільного ідеалу $I$ з умови $\mathfrak m \subset I \subset K$ слідує, що $I = \mathfrak m$ або $I = K.$

Ідеал $\mathfrak m \subset K$ є максимальним тоді і лише тоді, коли факторкільце $K/ \mathfrak m$ є полем.