Діофантові рівняння

Діофант - давньогрецький математик, який цікавився числами і написав знамениту книжку "Арифметика". В більш широкому розумінні діофантове рівняння – це рівняння, розв'язок якого необхідно знайти у цілих числах. У лекції я розповім про один з найпростіших типів діофантових рівнянь, а саме – лінійне рівняння з двома невідомими.

Я розгляну діофантові рівняння над цілими числами, але все сказане нижче без проблем переноситься на довільне евклідове кільце.

Нехай є рівняння $$ax+by=c\ (1)$$ де $a, b, c \in \mathbb Z$ – задані цілі числа, а $x, y \in \mathbb Z$ – невідомі, які необхідно знайти.

Умова існування розв'язку. Частковий розв'язок.

Нехай $d = НСД(a,b)$. Тоді ліва частина рівняння (1) ділиться на $d$, а отже повинна ділитись і права частина. Звідси можна отримати важливий наслідок: а саме, умову існування розв'язку діофантового рівняння.

Загальний розв'зок

Якщо відомий один розв'язок рівняння, цього не достатньо. Для кожного рівняння необхідно знайти по можливості всі розв'язки. Формула, яка описує всі розв'язки рівняння називається загальним розв'язком рівняння.

Як видно з написаного вище, якщо рівняння $ax+by=c$ має розв'язок, якщо найбільший спільний дільник $d = НСД(a, b)$ ділить $c$. Але тоді виходить, що $a, b, c$ діляться на $d$, а отже на нього можна скоротити. Нехай $a = a_1d$, $b= b_1d$, $c = c_1d$, тоді рівняння $ax+by=c$ рівносильно рівнянню $a_1x+b_1y=c_1.$ Легко бачити, що в останньому рівнянні $НСД(a_1, b_1)=1.$

Отже, якщо діофантове рівняння має розв'язок, то його завжди можна привести до вигляду $ax+by=c$, де $НСД(a, b) = 1.$ Таке рівняння простіше розв'язати. І саме для такого рівняння легко довести теорему про загальний розв'язок діофантового рівняння.