Множини з однією бінарною операцією

Розглянуто означення бінарної операції, а також групи, напівгрупи, моноїда.

Автор: Сергій Дяченко📅 2020-10-24⏳ 4 хв.

Нехай $K$ - непорожня множина. Відображення $*: K \times K \to K$ називається бінарною операцією.

Бінарні операції бувають декількох типів, в залежності від цього множина $K$ буде мати іншу назву.

Групою називається непорожня множина $K$ з заданою на ній бінарною операцією $*$, для якої виконуються наступні властивості:

$a*(b*c)=(a*b)*c.$
$\exists e \forall a : a*e=e*a=a.$
$\forall a \exists a^{-1} : a*a^{-1}=a^{-1}*a=e.$

Властивість 1 називається асоціативність, елемент $e$ із властивості 2 називається нейтральним елементом, а властивість 3 говорить про існування оберненого елемента.

Якщо окрім перелічених умов виконується комутативність $a*b=b*a,$ то говорять, що група комутативна, або абелева.

Абелевою або комутативною групою називається непорожня множина $K$ з заданою на ній бінарною операцією $*$, для якої виконуються наступні властивості:

$a*(b*c)=(a*b)*c.$
$\exists e \forall a : a*e=e*a=a.$
$\forall a \exists a^{-1} : a*a^{-1}=a^{-1}*a=e.$
$a*b=b*a.$

Адитивний та мультиплікативний запис бінарної операції

На практиці найчастіше викорристовуються рперації додавання $(+)$ та множення $(\cdot).$

При мультиплікативному записі операція позначається $a \cdot b$, частіше просто $ab.$ Нейтральний елемент називається одиниця (1), обернений позначається $a^{-1}.$

При адитивному записі операція позначається $+$, нейтральний елемент називається нулем (0), а обернений називається протилежним і позначається $-a$

Напівгрупа та моноїд

Якщо виконується тільки властивість 1, то множина називається напівгрупою.

Напівгрупою називається непорожня множина $K$ з заданою на ній бінарною операцією $*$, для якої виконуються наступні властивості:

$a*(b*c)=(a*b)*c.$

Якщо бінарна операція до того ж комутативна, то говорять про комутативну напівгрупу

Комутативною напівгрупою називається непорожня множина $K$ з заданою на ній бінарною операцією $*$, для якої виконуються наступні властивості:

$a*(b*c)=(a*b)*c.$
$a*b=b*a.$

При виконанні властивостей 1, 2 отримаємо моноїд, або напівгрупа з одиницею.

Моноїдом називається непорожня множина $K$ з заданою на ній бінарною операцією $*$, для якої виконуються наступні властивості:

$a*(b*c)=(a*b)*c.$
$\exists e \forall a : a*e=e*a=a.$

Комутативним моноїдом називається непорожня множина $K$ з заданою на ній бінарною операцією $*$, для якої виконуються наступні властивості:

$a*(b*c)=(a*b)*c.$
$\exists e \forall a : a*e=e*a=a.$
$a*b=b*a.$