Матриця лінійного відображення

Розглянуто поняття матриці лінійного відображення, матриці заміни базису, правила множення матриці на вектор та множення матриці на матрицю.

Автор: Сергій Дяченко📅 2021-03-24⏳ 10 хв.

У цій лекції я розповім про матрицю лінійного відображення. Якщо розглядати довільне відображення, його можна задавати різними способами. Найбільш поширені - таблицею значень аргументів і функції. Наприклад, $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4\\ \hline f(x) & 1 & 2.5 & 3.4 & \frac{1}{2} \\ \hline \end{array}$$ Другий спосіб - задання формулою, наприклад, $f(x) = 2x^2-15x+3.$

Задати лінійне відображення першим способом не має можливості, оскільки як правило векторний простір - це нескінченна множина. На допомогу може прийти базис векторного простору. Якщо векторний простір скінченновимірний, то й кількість векторів базису скінченна, отже, можна обчислити значення лінійного відображення на цих векторах. Виявляється, що цього досить для того, щоб вміти обчислювати значення цього відображення на довільному іншому векторі. про це говорить наступна теорема

Лінійне відображення однозначно задається значенням на базисі.

Нехай є лінійне відображення $f : V \to W$ і $\{ e_1, e_2, ... , e_n \} \subset V$ — базис.

Якщо задане значення відображення на базисі $f(e_i) = w_i,$ $1 \leq i \leq n.$ Тоді для довільного $v \in V,$ $v = x_1 e_1 + x_2e_2 + ... + x_n e_n,$ тоді $$f(v) = x_1f(e_1)+x_2f(e_2)+...+x_n f(e_n).$$ $$f(v) = x_1w_1+x_2w_2+...+x_n w_n.$$

Якщо є інше лінійне відображення $g : V \to W$ з властивістю $g(e_i) = f(e_i) = w_i,$ $1 \leq i \leq n,$ то аналогічно написаному вище, для довільного вектора $v = x_1 e_1 + x_2e_2 + ... + x_n e_n,$ $$g(v) = x_1w_1+x_2w_2+...+x_n w_n.$$ А отже $f(v) = g(v)$ для всіх $v \in V,$ а це означає, що $f=g.$

Таким чином кожне лінійне відображення $f : V \to W$ однозначно задається набором векторів $w_1, w_2, ..., w_n \in W,$ в свою чергу кожен із цих векторів можна розкласти за базисом простору $W$ і отримати $n$ арифметичних вектори.

Нехай $f : V \to W$ — лінійне відображення $B_1 = \{ e_1, ... , e_n \}$ - базис $V$, $B_2 = \{ h_1, ... , h_m \}$ - базис $W$. Нехай $$f(e_j) = \sum_{i=1}^m a_{ij} h_i, 1 \leq j \leq n.$$ Тоді матриця $$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \\ \end{pmatrix}$$ називається матрицею лінійного відображення $f$ в базисах $B_1, B_2.$

Можна зауважити, що матриця лінійного відображення залежить від вибору базису у $V$ просторах $W$. Якщо змінити базиси, то зміниться і матриця.

Матриця лінійного відображення це фактично реалізація першого підходу до визначення відображення. А саме матриця будується наступним чином. Беруться вектори базису, яких скінченна кількість. По черзі обчислюються значення відображення на цих векторах і значення послідовно записуються, як вектори-стовпчики матриці.

Але тепер виникає запитання, як використовувати матрицю лінійного відображення? Для чого вона потрібна? Як її використати для обчислення значення відображення на довільному векторі. Ось тут на допомогу прийде другий спосіб задання відображення - формула. А саме, знаючи матрицю відображення, можна записати формулу для обчислення значень відображення на довільному векторі.

Нехай $f : V \to W$ лінійне відображення. $B_1 = \{ e_1, e_2, ..., e_n \}$ — базис $V,$ $B_2 = \{ h_1, h_2, ..., h_m \}$ — базис $W,$ $$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \\ \end{pmatrix}$$ матриця відображення $f$ в базисах $B_1, B_2.$ Тоді образом вектора $v \in V,$ який в базисі $B_1$ має координати $(x_1, x_2, ... , x_n)$ буде вектор $w,$ який в базисі $B_2$ має координати $(y_1, y_2, ... , y_m),$ які обчислюються за наступними формулами $$ \begin{matrix} y_1= a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + ... + a_{1n} x_n; \\ y_2 = a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + ... + a_{2n} x_n; \\ ... \\ y_m = a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + ... + a_{mn} x_n. \end{matrix} (*)$$

Те, що вектор $v$ має координати $(x_1, x_2, ... , x_n)$ в базисі $B_1$ означає, що $v = x_1 e_1 + x_2 e_2 + ... + x_n e_n,$ тоді $$f(v) = \sum_{j=1}^n x_j f(e_j) = \sum_{j=1}^n x_j \Big( \sum_{i=1}^m a_{ij} h_i \Big)$$ Після зміни порядку сумування $$f(v) = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j h_i = \sum_{i=1}^m \Big( \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \Big) h_i $$ Можна порівняти цей вираз із розкладом вектора за базисом $w = y_1 h_1 + y_2 h_2 + ... + y_m h_m.$ Числа, записані в дужках фактично є координатами вектора. Що доводить справедливість формул $(*).$

Формула $(*),$ доведена в теоремі фактично є формулою множення вектора на матрицю. Можна помітити, що вона дуже схожа на систему лінійних рівнянь. Скороцено множення матриці $A$ на вектор $x$ позначається $$y = Ax.$$

Використовуючи введене позначення систему лінійних рівнянь з основною матрицею $A$ і стовпчиком вільних членів $b$ можна записати наступним чином: $$Ax=b.$$

Множення матриць

Кожному лінійному відображенню можна співставити матрицю. Якщо розглянути суперпозицію відображень $$V \xrightarrow{f} W \xrightarrow{g} U$$ і у векторних просторах обрати базиси $B_1 \subset V,$ $B_2 \subset W,$ $B_3 \subset U,$ тоді відображенню $f$ буде відповідати матриця $A$ (у базисах $B_1, B_2$), відображенню $g$ буде відповідати матриця $B$ (у базисах $B_2, B_3$), відображенню $gf$ буде відповідати матриця $C$ (у базисах $B_1, B_3$). природно виникає питання, а чи є формула, яка пов'язує матриці $A, B, C$, або чи можна знайти матрицю $C$, знаючи матриці $A , B$? Дійсно, така формула є і про це говорить наступна теорема.

Нехай задано два лінійних відображення $f : V \to W$, $g : W \to U$, які в базисах $B_1 \subset V,$ $B_2 \subset W,$ $B_3 \subset U,$ мають відповідно матриці $A, B$. Тоді матриця $C$ відображення $gf$ знаходиться за наступною формулою $$c_{ij} = \sum_{k=1}^{|B_2|} b_{ik}a_{kj}$$

Для початку необхідно розібратись з даними теореми.

Нехай $B_1 = \{ e_1, e_2, ..., e_n \},$ $B_2 = \{ h_1, h_2, ..., h_s \},$ $B_3 = \{ r_1, r_2, ..., r_m \}$ тоді, матриця $A$ має розмір $s \times n$, матриця $B$ має розмір $m \times s$, матриця $C$ має розмір $m \times n.$ Мають місце формули $$f(e_j) = \sum_{k=1}^s a_{kj}h_k,$$ $$g(h_k) = \sum_{i=1}^m b_{ik}r_i.$$

Для того, щоб обчислити коефіцієнт $C_{ij}$ матриці відображення $gf$ необхідно порахувати значення $gf(e_j) = g(f(e_j))$ і взяти координату при векторі $r_i$. $$gf(e_j) = g \Big( \sum_{k=1}^s a_{kj}h_k \Big) = \sum_{k=1}^s a_{kj}g(h_k);$$ $$gf(e_j) = \sum_{k=1}^s \sum_{i=1}^m a_{kj} b_{ik}r_i $$ $$gf(e_j) = \sum_{i=1}^m \Big( \sum_{k=1}^s b_{ik} a_{kj} \Big) r_i $$ Отже, справедлива формула $$c_{ij} = \sum_{k=1}^{|B_2|} b_{ik}a_{kj}$$

Формула, доведена в останній теоремі називається формулою множення матриць.

Матриця заміни базису.

Нехай є два базиси $B_1 = \{ e_1, e_2, ..., e_n \},$ - старий базис і $B_2 = \{ e'_1, e'_2, ..., e'_n \}$ - новий базис. Нехай мають місце наступні співвідношення $$e'_j = \sum_{i=1}^n a_{ij}e_i, 1 \leq j \leq n$$ Тоді матриця $$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\ \end{pmatrix}$$ називається матрицею переходу від старого базису до нового.

Нехай є два базиси $B_1 = \{ e_1, e_2, ..., e_n \},$ і $B_2 = \{ e'_1, e'_2, ..., e'_n \},$ $A$ - матриця переходу від базису $B_1$ до базису $B_2.$ Нехай $v$ - деякий вектор, який в базисі $B_1$ має координати $x = (x_1, x_2, ... , x_n)$, а в базисі $B_2$ має координати $x' = (x'_1, x'_2, ... , x'_n).$ Тоді $$x = Ax'$$

Дійсно. $e'_j = \sum_{i=1}^n a_{ij}e_i, 1 \leq j \leq n$ $$v = \sum_{j=1}^n x'_j e'_j = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n a_{ij} x'_j e_i$$ $$v = \sum_{i=1}^n \Big( \sum_{j=1}^n a_{ij} x'_j \Big) e_i = \sum_{i=1}^n x_i e_i.$$ Прирівнюючи коефіцієнти при $e_i$ отримається формула $x = Ax'.$

Зміна матриці лінійного відображення при заміні базису

Матриця лінійного відображення $f : V \to W$ залежить від вибору базисів у цих просторах. Наступна лема показує зв'язок матриці в старому базисі та новому базисі.

Нехай $f : V \to W$ лінійного відображення. $A$ - його матриця в базисах $B_1 \subset V$, $B_2 \subset W$, $A'$ - його матриця в інших базисах $B'_1 \subset V$, $B'_2 \subset W, $ $S$ - матриця переходу від базису $B_1$ до $B'_1$ $T$ - матриця переходу від базису $B_2$ до $B'_2.$ Тоді $$A' = T^{-1}AS$$

Мають місце наступні співвідношення $y = Ax,$ $y' = A'x'.$ Використовуючи матриці переходу можна записати співвідношення між старими та новими координатами. $x = Sx',$ $y = Ty'.$ Тоді $$y = Ax;$$ $$Ty' = ASx';$$ $$y' = T^{-1}ASx',$$ отже, $A' = T^{-1}AS$

Якщо лінійне відображення є лінійним оператором, тобто $f : V \to V$, то формула зміни матриці при зміні базису виглядає наступним чином: $$A' = S^{-1}AS.$$